Al término de su visionaria novela “De la Tierra a la Luna”, Julio Verne nos relata cómo el proyectil en el que tres osados hombres han sido lanzados hacia la Luna, no alcanza finalmente su objetivo, sino que queda atrapado por la gravedad lunar en una órbita que condena al mismo a dar vueltas a nuestro satélite “hasta la consumación de los siglos”. Escribe Verne: “¿Era posible auxiliar a aquellos heroicos habitantes de la Tierra? No, sin duda alguna, porque se habían colocado fuera de la humanidad traspasando los límites impuestos por Dios a las criaturas terrestres. Podían procurarse aire durante dos meses, tenían víveres para un año. Pero ¿y después…? Los corazones más insensibles palpitaban al dirigirse tan terrible pregunta”. Recientemente se ha conmemorado el 50 aniversario de la llegada del hombre a la Luna y no deja de ser estremecedor preguntarse de qué manera el funesto final que Julio Verne imaginó para sus héroes pudo convertirse en una obsesión para Neil Amstrong y compañía al embarcarse en una misión sin posibilidad alguna de rescate. La perspectiva del fracaso queda manifiesta en el memorando que Richard Nixon tenía preparado para usarlo con el nombre de “En caso de desastre lunar” y que comienza con estas palabras: “El destino ha querido que los hombres que fueron a la Luna para explorarla en paz se queden en ella para descansar en paz. Estos dos hombres valientes, Neil Amstrong y Edwin Aldrin, saben que no hay esperanza de rescate. Pero también saben que hay esperanza para la humanidad con su sacrificio”. El estremecimiento que 50 años después nos provoca el pensar en la terrible posibilidad de que los astronautas quedaran irremediablemente atrapados es sólo uno de los múltiples sentimientos que nos despierta el rememorar hoy aquella extraordinaria gesta, tal vez la mayor y más osada aventura en que se haya embarcado la humanidad. Ahora bien, más allá del estupor que nos causa esta hazaña del valor y la ingeniería humana, confieso que aún impulsa en mí una mayor fascinación la gesta intelectual que siglos después hiciera viable la aventura lunar: me refiero, claro está, a la publicación en 1687 de la monumental obra “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” de Sir Isaac Newton.

La ley de la gravitación universal

        Mucho antes que a Amstrong, Aldrin, Collins y todo el equipo de ingenieros de la Nasa, el misterio de la Luna ya había despertado la fascinación de un joven estudiante de matemáticas llamado Isaac Newton. A causa de una epidemia de peste en 1665, la Universidad de Cambridge se cierra y un jovencísimo Newton regresa durante casi dos años (que posteriormente el propio científico considerará como sus anni mirabiles) a la granja familiar en Woolsthorpe donde, en mitad de la quietud del campo, concibió las intuiciones fundamentales de su obra. A Newton le embelesaba contemplar la Luna y preguntarse acerca del mecanismo de su movimiento. Lo que él buscaba, como todos los matemáticos de su época, era encontrar una explicación para el movimiento de los cuerpos celestes y Newton procedió a la manera de las personas inteligentes, descomponiendo el problema inicial en otros más simples: así, pensó en resolver en primer lugar el problema del movimiento de la Luna alrededor de la Tierra para abordar después el de otros cuerpos celestes. Lo que Newton sabía por la ley de la inercia formulada por Descartes (y que luego él reformularía como la primera de sus tres leyes para el movimiento) es que sobre la Luna debería ejercerse una fuerza pues, en caso contrario, ésta debería seguir un movimiento según una línea recta. Además, dicha fuerza debería estar apuntando hacia el centro de la Tierra para mantenerla orbitando alrededor de la misma. El mismo Newton cuenta que la idea de la gravedad le surgió al observar como una manzana caía de un árbol. Según la ley de la inercia, una fuerza debía ejercerse sobre la manzana para que esta cayera del árbol y la misma debería apuntar hacia el centro de la Tierra. Ahora bien, puesto que uno de los principios metodológicos de Newton consistía en admitir la simplicidad de la naturaleza, ¿por qué no pensar que las fuerzas que se ejercen sobre la manzana y sobre la Luna son al fin y al cabo una y la misma? A partir de los datos conocidos sobre la aceleración de caída libre de los cuerpos en la superficie terrestre, el período de revolución de la Luna y la distancia de ésta a la Tierra, Newton se las ingenió para determinar que la fuerza en cuestión -a la que llamó fuerza de la gravedad– entre dos cuerpos (ya sean la manzana y la Tierra o bien La Tierra y la Luna u otros cualesquiera) debería ser directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a las mismas: esto no es otra cosa que el enunciado de la célebre ley de la gravitación universal que, matemáticamente puede formularse como:

 F=G·M·m/r²

       Ahora bien, la cuestión era que, puesto que la Luna estaba sometida igual que la manzana a una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra, ¿por qué no cae también la Luna sobre la superficie de nuestro planeta?

El martillo y la pluma

       En su obra sobre física, Newton se apoyó, entre otros, en los trabajos del científico italiano Galileo Galilei. Al estudiar el movimiento de caída de los graves, Galileo refutó la idea aristotélica según la cual aquellos cuerpos más pesados -como un martillo- deberían caer antes que otros más livianos, como una pluma. Galileo razonó que esa forma de pensar encerraba en sí una contradicción insalvable pues, si se dejaba caer un cuerpo compuesto formado por un martillo atado a una pluma, éste debería caer más rápido que el martillo sólo al ser más pesado pero, por otra parte, también debería caer más lento porque la caída de la pluma debería ralentizar al martillo. Según una leyenda infundada, Galileo demostró que el tiempo de caída era independiente de la masa al dejar caer dos bolas del mismo tamaño, una de madera y otra de plomo, desde lo alto de la inclinada torre de Pisa. Lo que sí es cierto es que el científico italiano contrastó la validez de sus ideas experimentando con bolas que dejaba caer por un plano inclinado, lo que le permitió ralentizar el tiempo de caída libre y poder así cronometrar el movimiento de las bolas. Como resultado de estos experimentos, Galileo no sólo constató que bolas de diferente masa tardaban el mismo tiempo en bajar por el plano sino que, además, el movimiento de caída libre no tenía una velocidad constante -como afirmaba Aristóteles- sino que se trataba de un movimiento acelerado. Para explicar mejor la diferencia, diremos que, según Aristóteles la caída libre era un movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, con velocidad constante, lo que significa que un cuerpo debería recorrer distancias iguales en intervalos de tiempo iguales, tal y como se representa en la figura 1.

                                  Figura 1. Posiciones sucesivas para un cuerpo con movimiento rectilíneo y uniforme

Sin embargo, Galileo llegó a poner de manifiesto que el movimiento de caída libre era un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, esto es, las distancias recorridas por un cuerpo en intervalos de tiempo iguales son cada vez mayores. Concretamente, al mantenerse la aceleración uniforme, dichas distancias deben ser proporcionales a los cuadrados de los tiempos, lo que daría una representación gráfica como la de la figura 2.

Figura 2. Posiciones sucesivas para un cuerpo con movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado

       Según Galileo, el hecho cotidiano de que una pluma caiga más despacio que un martillo no se debe a que pese menos sino a que su forma ofrece una mayor resistencia al aire. En el vacío, ambos cuerpos deben caer a la vez como, en efecto, pudo demostrar uno de los astronautas de la misión Apollo 15 (año 1971, ver vídeo) al dejar caer ambos cuerpos desde la superficie lunar donde no hay atmósfera.

Aunque la ley de caída de los graves de Galileo nos dice cómo es el movimiento de caída libre, la causa del mismo no quedó clarificada hasta la obra posterior de Newton quien, en su segunda ley del movimiento, propuso que toda aceleración tiene como origen una fuerza que, en el caso de los cuerpos en caída libre no era otra que la ya mencionada fuerza de la gravedad. Pero ¿y qué pasa con la Luna? ¿No debería esta también caer sobre la Tierra al estar sometida a la misma fuerza de gravedad de una manzana que cae de un árbol? Para aclarar un poco las ideas debemos seguir profundizando en los trabajos de Galileo.

El movimiento de las balas de cañón

         Además del movimiento de caída libre, Galileo fue también el primero en resolver un problema que había traído de cabeza a los matemáticos durante siglos y que no es otro que la descripción matemática del movimiento de los proyectiles, tales como una bala de cañón. Al igual que años después hiciera Newton con el movimiento de los cuerpos celestes, Galileo decidió hincarle el diente a su problema como lo hacen las personas inteligentes: descomponiendo un problema complejo en otros más simples. Para ello Galileo enunció su principio de independencia de los movimientos, según el cual siempre que un cuerpo se vea sometido a dos movimientos a la vez, el resultado final es independiente de que estos movimientos sean simultáneos o sucesivos. Para explicar este principio imaginemos que un señor se dispone a cruzar a la otra orilla de un río nadando en línea recta y a velocidad constante pero, al mismo tiempo, se ve arrastrado por la corriente del río a una velocidad también constante. El movimiento resultante puede analizarse, según el principio de Galileo, en dos movimientos perpendiculares rectilíneos y uniformes (como los de la figura 1): uno en la dirección de nado y otro en el de la corriente del río. La composición de ambos movimientos daría lugar a un movimiento en diagonal tal y como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Trayectoria de un cuerpo sometido a dos movimientos rectilíneos y uniformes simultáneos y perpendiculares

       Lo que Galileo pensó era que podía describir el movimiento de una bala de cañón lanzada horizontalmente descomponiéndolo en dos: uno horizontal rectilíneo y uniforme (como el de la figura 1) y otro vertical de caída libre que, según las conclusiones del propio Galileo, debería ser rectilíneo y uniformemente acelerado (como el de la figura 2). La composición de ambos movimientos que se ilustra en la figura 4, nos da una trayectoria conocida en matemáticas como parábola; un resultado muy diferente al propuesto por Aristóteles quien sostenía que un proyectil lanzado debería ascender en línea recta para después caer en picado, en lugar de describir una parábola.

Figura 4. Trayectoria parabólica de una bala de cañón lanzada horizontalmente

         Imaginemos ahora que lanzamos horizontalmente tres balas de cañón de manera que la velocidad de la segunda es mayor que la de la primera y la de la tercera mayor aún. Una posible gráfica que ilustre las trayectorias seguidas por las tres balas sería la de la figura 5.

Figura 5. Trayectorias para tres balas de cañón lanzadas con diferentes velocidades horizontales

        Es curioso constatar como buena parte de los estudiantes de física de secundaria, cuando son preguntados por este experimento, responden que la bala segunda tarda más tiempo en caer que la primera y la tercera más que la segunda; parece engañosamente intuitivo, pues la tercera bala es la que tiene mayor alcance. La respuesta correcta es que las tres bala tardan el mismo tiempo en llegar al suelo y para convencerse de esto, basta razonar en los términos en que Galileo nos enseñó. De esta forma, constatamos que las tres balas comparten un movimiento vertical de caída libre desde la misma altura y, por tanto, deben tardar el mismo tiempo en caer, pongamos por caso cinco segundos. La diferencia está en que, como la velocidad horizontal de la segunda bala es mayor que la de la primera, en esos cinco segundos tendrá tiempo para recorrer una distancia horizontal mayor y por consiguiente tiene un mayor alcance. Y lo mismo podría razonarse para la tercera bala en relación a la segunda.

El sistema del mundo

Llevando el anterior razonamiento un poco más lejos, Newton pensó en que pasaría si desde una montaña lo suficientemente alta se lanza un proyectil a velocidades cada vez mayores. En principio constataríamos que, según lo dicho, el proyectil caería cada vez más lejos; ahora bien, llegaría un momento en el que su velocidad sería tan alta que la propia superficie del planeta se curvaría por debajo de la trayectoria del proyectil antes de que éste llegara al suelo. En este caso límite, cuando la velocidad sea igual a la llamada velocidad orbital, el proyectil bordearía todo el planeta y regresaría al punto de partida. Si no hay pérdida de velocidad por ausencia de rozamiento, el proyectil llegaría al punto de partida con la misma velocidad que al principio y seguiría orbitando indefinidamente en torno a la Tierra. Newton plasmó este experimento mental en el grabado extraordinario de la figura 6.

Figura 6. Dibujo de Newton que explica el movimiento orbital de un satélite como un caso límite de un tiro horizontal

        En este punto, Newton estaba en condiciones de comprender por qué la Luna no se cae hacia la Tierra como una manzana. Y lo sorprendente es concluir que la Luna sí cae hacia la superficie de la Tierra, aunque nunca llegue a alcanzar su superficie. La razón es que su velocidad lineal es lo suficientemente alta como para permitir que esté indefinidamente orbitando en torno a la Tierra como el anterior proyectil: se trata pues de una caída continua e indefinida. Y no se trata sólo de una metáfora sino de una caída real. Para intentar hacer vivenciar a mis alumnos este impactante descubrimiento, les pregunto por qué los astronautas que orbitan la Tierra en la Estación Espacial Internacional están flotando en aparente situación de ingravidez. Desde luego la respuesta no es que a la altura a la que se encuentran no haya fuerza de la gravedad o que esta sea demasiado pequeña. La respuesta correcta es que, como Newton razonó, todo cuerpo que orbita en torno a otro en el espacio se encuentra en una situación de caída libre indefinida y estar en un campo gravitatorio en caída libre es totalmente equivalente a estar en ausencia de gravedad. En efecto, imagínese a un observador en un ascensor sin ventanas que, en un momento dado, se descuelga del techo y cae libremente con la aceleración de la gravedad. Si en esa situación el observador se deja caer una manzana a la altura de sus ojos sabemos, por la ley de caída de los graves, que tanto la manzana como el propio observador caerán con la misma aceleración, por lo que el observador verá a la manzana flotando delante de sus ojos como si estuviese en situación de ingravidez. ¿Cómo podría el observador decidir si se encuentra en un ascensor  en mitad del espacio ingrávido o en un ascensor en la Tierra en caída libre? Salvo por el batacazo final no habría manera alguna de distinguir entre ambas situaciones. Y esto es lo que les ocurre a los astronautas que se encuentran orbitando en torno a la Tierra (claro está que para ellos no hay batacazo final pues su caída libre es, como se ha dicho, indefinida).

Extendiendo este razonamiento al resto de cuerpos celestes, Newton no sólo explicó la órbita de la Luna en torno a la Tierra sino también la traslación terrestre en torno al Sol y la de todos los planetas y cometas del Sistema Solar, dando buena cuenta de ello en la tercera parte de sus Principia titulada como “El Sistema del Mundo”. Antes de esto dominaba la creencia aristotélica que dividía el cosmos en una región sublunar o terrestre donde toda la materia (formada por los cuatro elementos tierra, agua, aire y fuego) estaba continuamente sometida a cambio y corrupción y una región supralunar o celeste formada por el quinto elemento éter, donde reinaba la armonía circular y la eternidad. Al demostrar cómo las mismas leyes matemáticas que en la Tierra describen la caída de una manzana o el movimiento de una bala de cañón pueden aplicarse para describir el movimiento de la Luna y, en general, todos los astros, Newton no sólo consiguió una generalización sin precedentes, sino que logró acabar con el complejo de inferioridad intelectual del hombre moderno frente a los griegos y convencer a sus coetáneos de que las mismas leyes que regían en la Tierra debían funcionar también en los cielos. Al dar este primer paso, Newton nos abrió la puerta hacia la posibilidad de comprender racionalmente el universo: ese sí que fue un verdadero salto para la humanidad.

 

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