Física, matemáticas y realidad

by Alfonso Viudez , 30 mayo, 2020

Imagen| Fernando Ivorra

Cuenta una historia que, al pasar por delante de una herrería, el filósofo y matemático griego Pitágoras quedó fascinado al percatarse de la relación que existía entre la longitud de unas placas metálicas y el tono del sonido que producían al ser golpeadas, verificando que cuanto mayor era la longitud de las placas más grave era el sonido que se escuchaba. Pitágoras experimentó con distintos instrumentos y llegó a la conocida como ley de las armonías según la cual en el monocordo (instrumento de un sola cuerda cuya invención se atribuye a Pitágoras) se producen sonidos armónicos cuando la relación entre las longitudes de las cuerdas se ajustan a los valores 1/2, 2/3, 3/4 y así sucesivamente. O, dicho de otra manera, la relación entre las longitudes de las cuerdas que dan lugar a sonidos armónicos, o agradables al oído, se ajusta a la relación n/(n+1), siendo n un número entero. El filósofo de Samos quedó impresionado por encontrar las mismas relaciones numéricas subyacentes bajo fenómenos cualitativamente muy diversos como la producción de sonidos no sólo en el monocordo o en las placas metálicas de la herrería, sino también en los sonidos obtenidos al golpear recipientes iguales con agua a distintas alturas, campanas de distinto tamaño, etc: esto le llevó al insólito convencimiento de que el número constituía la esencia de la realidad, el principio radical -a un tiempo sustrato, causa y sentido- de todas las cosas. Es esta idea genial la que convierte a Pitágoras en el precursor de la física moderna en tanto que disciplina que busca establecer modelos matemáticos -empíricamente contrastables- para los fenómenos naturales. Una  tendencia que será luego seguida por pensadores como Arquímedes, que aplicará las matemáticas a problemas prácticos de ingeniería, Johann Kepler, que encontrará las leyes matemáticas para describir la Armonía de los mundos y Galileo Galilei, quien llegó a defender que «el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas».

Ahora bien, la relación que en la física se establece entre matemáticas y realidad, puede conducir a la falsa ilusión de dotar a los enunciados físicos el mismo carácter de inevitabilidad propio de los enunciados de la matemática pura, siendo ésta una confusa cuestión que ha enredado a científicos y filósofos durante mucho tiempo. Para hablar de ello, podemos recurrir a comparar la anterior ley de las armonías con otro enunciado, no menos célebre, popularizado con el nombre de teorema de Pitágoras, según el cual «en todo triángulo rectángulo el cuadrado  de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos» (algebraicamente escrito como h²= a²+b²). A primera vista ambos enunciados parecen expresar relaciones matemáticas simples entre diversas magnitudes y ambos permiten realizar cálculos con aplicación práctica, ya sea afinar un instrumento o determinar, por ejemplo, las dimensiones de un jardín triangular. Ahora bien, más allá de la similitud aparente, existe una esencial diferencia entre ambos enunciados que no es otra que la diferencia entre un teorema matemático y una ley física experimental.

Carácter tautológico de los enunciados matemáticos

Todo enunciado puramente matemático como el teorema de Pitágoras -al que podemos referirnos como verdad de razón– es un enunciado analítico o tautológico con carácter a priori y necesario. En efecto, en tanto que proposiciones analíticas, las proposiciones matemáticas expresan una verdad que resulta evidente en virtud sólo del significado y la relación de las palabras usadas, esto es, que en este caso el calificativo “verdadera” viene a ser sinónimo de“coherente”. Tomemos por caso la proposición matemática “dos más dos es igual a cuatro”, donde la palabra “dos” actúa como signo abreviado de “1­+1”, mientras que la palabra “cuatro” es la notación simplificada de “1+1+1+1”. Según esto, la expresión “dos más dos” equivale a decir “(1+1)+(1+1)”, que no es otra cosa que lo que se ha  convenido en llamar “cuatro”. Algo similar ocurre con el célebre teorema de Pitágoras: lo expresado por el mismo es sólo la consecuencia lógica de la definición aceptada para “triángulo rectángulo”, “cateto” e “hipotenusa”. Y lo mismo podría demostrarse para cualquier enunciado matemático. En su autobiografía intelectual, el filósofo Bertrand Russell se lamentaba de que «para una mente con bastante poder intelectual, el conjunto de la matemática aparecería como trivial; tan trivial como la afirmación de que un animal cuadrúpedo es un animal». En tanto que la verdad de un enunciado matemático se fundamenta en aspectos exclusivamente formales, la misma tiene un carácter plenamente a priori, esto es, que se establece de manera previa a la experiencia e independiente de la misma y, asimismo, necesario, esto es, no podemos negarla pues la negación de la misma nos llevaría a incurrir en una contradicción, como lo sería el negar la blancura del caballo blanco de Santiago. Piénsese en el hecho de que, en sus demostraciones geométricas, los griegos solían emplear un procedimiento lógico conocido como “reducción al absurdo” y que consistía en suponer lo contrario de lo que se quería afirmar llegando, por un procedimiento estrictamente deductivo, a una contradicción.

Ahora bien, frente al carácter de inevitabilidad propia de los enunciados matemáticos -de cuya verdad podemos estar completamente seguros- encontramos en la  otra cara de la moneda su naturaleza de verdad vacía, es decir, sin contenido informativo sobre el mundo. Así, la afirmación “todos los hombres solteros están sin casar” es una evidente perogrullada puesto que sería contradictorio negarla, pero en modo alguno aporta información sobre el mundo sino, antes bien, sobre el significado aceptado para la palabra “soltero”. De la misma manera, es una verdad tautológica la proposición «ahora mismo está lloviendo o no está lloviendo», sin embargo, quien está en posesión de la misma no sabe en verdad si tiene que salir a la calle con paraguas.

 Las leyes de la física como compresiones algorítmicas

A pesar de su similitud, la ley de las armonías no es, en principio, un enunciado tautológico como el teorema de Pitágoras pues, a diferencia de lo que ocurre con éste, no existe contradicción alguna en pensar que los sonidos armónicos se produjeran sin relación numérica subyacente alguna, o bien, mostrando alguna relación diferente a las encontradas por los pitagóricos. Toda ley física puede considerarse en verdad como un modelo matemático de la realidad, esto es, una representación simplificada de los fenómenos que comparte con estos, para poder modelarlos, una estructura común de carácter matemático. Más precisamente, toda ley física puede concebirse -a la manera propuesta por el astrofísico Jhon D. Barrow– como una compresión algorítmica que sintetiza una secuencia de datos experimentales y los generaliza. Veamos: dada una secuencia numérica cualquiera, se dice que la misma es compresible cuando puede representarse simplificadamente por una fórmula algebraica. Póngase por caso la serie 1, 5, 11, 19, 29…; decimos de dicha serie que es compresible en la medida en que puede contenerse en la expresión algorítmica, a partir de la cual puede reconstruirse la serie al completo sin más que ir dando valores sucesivos a n. Y nótese que el usar aquí el algoritmo para obtener los términos anteriores o posteriores a uno dado sería el equivalente a usar una ley física para hacer retrodicciones y predicciones. Podemos asumir que en física toda ley constituye un enunciado matemático –compresión algorítmica- que permite contener (o resumir y generalizar) una serie de datos numéricos que han de corresponderse con los valores cuantitativos de las diferentes magnitudes, estableciendo una relación general e invariable ente los valores de dos o más de estas magnitudes llamadas variables de un fenómeno (como la fuerza, la masa y la distancia en la ley de newtoniana de la gravedad). A título de ejemplo la «ley de las armonías» pitagórica permite obtener la serie de relaciones numéricas correspondiente a sonidos armónicos a partir de la compresión algorítmica , siendo n un número natural. De la misma forma la «ley de caída de los graves» de Galileo establece que las posiciones ocupadas por un cuerpo en caída libre en el vacío -con independencia de su masa- vienen dadas por la compresión algorítmica , siendo n la variable tiempo que toma como valores los números reales. Lo mismo podría afirmarse de cualquier otra ley física.

Imposibilidad de los enunciados  sintéticos a priori

Es un error de bulto, como se ha dicho, el creer que las proposiciones de las matemáticas puras, siendo como son verdades tautológicas, pueden aportarnos información nueva sobre el mundo. Esta confusión, que enturbia nuestra percepción de las cosas, puede inducirse por el modo y manera, a veces espontáneo e inmediato, con el que se utilizan las matemáticas para describir los hechos del mundo. De esta forma, se da por sabido que si tenemos dos manzanas y nos dan otras dos, tendremos un total de cuatro manzanas: he aquí un enunciado de hecho cuya veracidad se nos antoja tan necesaria como la de “dos más dos es igual a cuatro”. Y esta confusión se hace más patente aún en el caso de nuestro conocimiento de las relaciones espaciales. Cuando aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular las dimensiones de un jardín, el hecho de obtener un resultado preciso sobre algo físico, partiendo de un enunciado tautológico, nos induce a pensar que la matemática pura nos informa sobre la realidad. En términos más generales, la geometría de Euclides (dentro de la cual se integra el teorema de Pitágoras) se nos presenta como un sólido edificio axiomático en el que la veracidad de cada teorema o corolario es rigurosamente deducible de cinco axiomas fundamentales y tan evidentes como la afirmación de que “por dos puntos pasa una sola recta”, etc. Se trata pues de verdades necesarias e irrefutables con carácter a priori que, por otra parte, pueden aplicarse en la práctica para determinar las dimensiones de cuerpos físicos como en el ejemplo del jardín triangular, la determinación de la superficie de un  campo de fútbol, etc., obteniendo así enunciados sintéticos. Este tipo de cosas puede llevarnos a considerar las proposiciones de la geometría euclidiana –o cualquier otro cuerpo de proposiciones matemáticas- como verdades sintéticas y, al mismo tiempo, a priori, esto es, independientes de la experiencias y, también, necesarias, concluyendo la posibilidad de llegar a un conocimiento seguro sobre el mundo. Una confusión de este tipo fue la que llevó al filósofo Inmanuel Kant a considerar que nuestro conocimiento del espacio, regido por la geometría euclidiana, era un conocimiento trascendental, afirmando la posibilidad de juicios sintéticos a priori.

Para deshacer esta confusión hemos de considerar que, en tanto que teoría matemática pura, la geometría euclidiana se constituye de tautologías y la inevitabilidad de sus teoremas y corolarios se fundamenta en que estos son rigurosamente deducidos de los axiomas propuestos por Euclides. Ahora bien, se debe interpretar que tales axiomas son una propuesta convencional (inventada) que, en principio, no aporta información alguna sobre el mundo. El carácter matemático –y por ende, tautológico- de la geometría euclidiana queda puesto de manifiesto por el desarrollo de las geometrías no euclídeas, sistemas axiomáticos que, partiendo de postulados diferentes a los de Euclides (concretamente, alterando en contenido del quinto postulado) desarrollan un corpus de proposiciones –teoremas y corolarios- tan riguroso y necesario como el elaborado por Euclides. Otra cosa, sin embargo, es el uso que pueda hacerse de la geometría euclidiana para describir la realidad, caso en el que hablaríamos más bien de matemáticas aplicadas. Desde el momento en que se hace esto, dotamos de un significado empírico a las proposiciones geométricas y estas adquieren entonces un carácter sintético en la medida en que su veracidad pasa a estar condicionada por el dictamen de la experiencia: la geometría pasa de ser una construcción matemática pura a considerarse una teoría física sobre las relaciones espaciales en el mundo. El carácter intuitivo de la geometría de Euclides (por concordar con nuestro sentido común fundado en la experiencia cotidiana), puede hacernos caer en el error de considerar tal geometría como una descripción verdadera del mundo con carácter a priori. La refutación más contundente a esta concepción kantiana de nuestro conocimiento del espacio y el tiempo fue el desarrollo de la Teoría General de la Relatividad de Einstein, la cual pone de manifiesto la conveniencia de sustituir la geometría euclidiana para describir la estructura del universo a gran escala por la geometría riemaniana (un tipo de geometría no euclídea) que, en dicho ámbito de aplicación, se mostraría como la geometría “verdadera”, en el sentido de corresponderse con la realidad.

Carácter contingente de los enunciados sintéticos de la física

Si se acepta la tesis de que toda ley física es una compresión algorítmica y, por ende, una forma de descripción matemática que resume y generaliza los hechos, ha de admitirse entonces que, a diferencia de las proposiciones de la matemática, los enunciados de la física  -a los que nos podemos referir como verdades  de hecho– tienen un carácter sintético, a posteriori y contingente. En efecto, a diferencia de lo que ocurre con los enunciados analíticos o tautológicos, para las proposiciones sintéticas de la física el concepto de verdad ya no es sinónimo de “coherencia” sino de “correspondencia”: correspondencia entre lo afirmado en la proposición y el estado de cosas en la realidad. Tales enunciados no están, como los enunciados matemáticos, vacíos de contenido, sino que aportan información sobre el mundo -nos describen la realidad- y su veracidad no puede decidirse de manera previa e independiente a la experiencia sensible sino sólo después de contrastar las hipótesis teóricas con los datos experimentales (carácter a posteriori). Adicionalmente, tales leyes no enuncian verdades necesarias como los teoremas matemáticos sino que tienen un carácter contingente, esto es, no hay ninguna contradicción en pensar que los hechos sean de otra manera diferente. Así, mientras que incurrimos en una contradicción al negar que “dos más dos es igual a cuatro”, no hay contradicción alguna en negar un hecho como “la Tierra es redonda”, ya que bien podría pensarse que fuese triangular o de cualquier otra forma y este sería un pensamiento falso, pero no contradictorio. La veracidad de una ley física depende siempre del contraste con la experiencia y nunca puede ser considerada como irrefutable sino, a lo sumo, provisionalmente válida hasta que un hecho experimental venga a contradecirla y a falsarla. Esto último es algo que tiene que ver con la crítica clásica al principio de inducción y a su propuesta de que es posible llegar a verdades generales a partir del la contraste con hechos particulares. En efecto, mientras que todo lo que en la práctica puede constatarse experimentalmente son hechos particulares, resulta lógicamente ilegítimo afirmar la verdad de enunciados generales fundamentándose en un puñado de hechos particulares. Por ejemplo, no puedo estar seguro de que «todos los cisnes son blancos» por el hecho de haber visto uno, dos o mil cisnes blancos, pues no puedo excluir la posibilidad de encontrarme en el futuro a uno que no lo sea. De igual forma, por muchas veces que se haya constatado la salida del Sol todos los días, no podemos sino considerar la afirmación «El Sol sale todos los días» como una mera hipótesis. En este sentido, la historia de la ciencia no se queda corta en ejemplos de cómo determinadas leyes o teorías que, tras multitud de contrastes experimentales eran consideradas como incuestionables, se han visto desplazadas por otras al aparecer nuevos experimentos cuyos resultados estaban en conflicto con ellas (y el caso de la mecánica newtoniana resulta aquí paradigmático)

 La irresoluble mezcla entre lo analítico y lo sintético

La confusión entre enunciados de hecho y tautologías es incluso más compleja de lo hasta aquí descrito en tanto que uno encuentra  que, en todo enunciado referencial,  hay una mezcla irresoluble entre elementos analíticos y sintéticos que hasta ahora se han tratado como simples e independientes. Así, por ejemplo, la afirmación “hay nueve planetas en el Sistema Solar” podría antojársenos como puramente sintética en tanto su veracidad depende de la observación astronómica. Pero, considérese el hecho de que tal proposición, tomada como verdadera hasta agosto de 2006, pasaría a ser falsa no por la modificación de los datos experimentales, sino por un cambio en el convenio astronómico en relación al concepto aceptado de «planeta». El nuevo concepto de planeta, supuso que Plutón dejara de ser considerado como tal, pasándose de nueve a ocho planetas en el Sistema Solar. Algo parecido ocurre con la proposición “el agua hierve a cien grados centígrados”, sintética en tanto afirma un hecho que puede constatarse experimentalmente, pero analítica en la medida en que justamente se definen los cien grados centígrados como la temperatura a la que hierve el agua a presión atmosférica. Y algo parecido ocurre con cualquier otro enunciado físico que se considere. En definitiva, toda proposición referencial contiene no sólo información sobre el mundo cuya veracidad depende del contraste experimental, sino también una serie de convenciones –más o menos implícitas- sobre el significado de los términos que la constituyen. Esta combinación entre lo empírico y lo tautológico puede hacernos caer en la tentación de considerar que las proposiciones de la física -como las del lenguaje matemático en que se expresan- son necesariamente verdaderas. Lo cierto es que, tal necesidad es sólo una ilusión y que, en la medida en que una proposición nos muestra un conocimiento seguro, carece de contenido informativo sobre el mundo y, por el contrario, en la medida  en que nos ofrece una descripción informativa de los hechos, carece de necesidad  en la verdad de lo que afirma.

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